quarta-feira, 17 de março de 2010

Fita de Moebius

Nascimento: 17 Nov 1790 em Schulpforta, Saxônia (hoje Alemanha). Falecimento: 26 Sept 1868 em Leipzig, Alemanha


August Möbius (entre nós Moebius) é mais conhecido pelo seu trabalho em topologia, especialmente pela sua concepção da fita de Moebius, que é uma superfície de duas dimensões com um lado só.
August era filho único de Johann Heinrich Möbius, um professor de dança que morreu quando August tinha três anos de idade. A sua mãe, que era descendente de Martinho Lutero foi quem o educou até os treze anos, em casa. Quando finalmente foi para o ginásio, em 1803, já mostrava grande interesse pela matemática. Em 1809 entrava na Universidade de Liepzig para estudar Direito (o que a família queria!), mas já na metade do primeiro ano ele decidiu seguir suas próprias preferências, e matriculou-se em Matemática, Astronomia e Física.

O professor que muito influenciou Möbius em Liepzig foi o de astronomia, Karl Mollweide. Mollweide é conhecido por ter feito várias descobertas matemáticas, em particular as relações trigonométricas de Mollweide e a forma de projeção de mapas que preserva os ângulos (uma projeção conformacional).

Em 1813 Möbius mudou-se para Göttingen para estudar astronomia com Gauss. Ora, Gauss era o diretor do Observatório da cidade, mas ainda assim era simplesmente o maior matemático de seu tempo, de formas a que o nosso herói estava novamente estudando astronomia com quem tinha profundo interesse na matemática. De lá, Möbius foi para Halle, para estudar com o professor de Gauss, Johan Pfaff, com quem aprendeu mais matemática ainda. Dessa forma, Möbius trabalhava com firmeza em ambas disciplinas.

Em 1815 ele escreveu sua tese de Doutorado intitulada "A ocultação de estrelas fixas", uma metodologia muito louca de se fazer uma série de medidas astronômicas, sendo utilizada hoje em dia até para se medir a camada de ozônio.

Entre 1815 e 1816 Möbius conseguiu despistar-se de ir para o exército prussiano, idéia que ele abominava com todas as forças. De fato, ele falava algo assim como "quem me vier com uma idéia dessas, eu o corto no fio da minha espada". Escreveu também sua Tese de Habilitação em equações Trigonométricas. Ainda nesse curto espaço de tempo seu antigo professor de Liepzig, Molwiede, que gostava muito de matemática, largou a cadeira de Astronomia para de fato assumir a de Matemática, e Möbius, almejando uma ocupação definitiva, muda-se para Liepzig para ocupar a cadeira do antigo professor, em Astronomia e Alta Mecânica. Seu primeiro cargo foi o de Professor Extraordinário. Entretanto, parece que ele não era lá muito bom professor, e seus cursos não atraíam muitos alunos, de formas a que ele não conseguia ser promovido a Professor em definitivo. Por exemplo, acreditando na alta qualidade de ensino da Universidade de Liepzig, ele não aceitou cargos de astrônomo em Greifswald em 1816 nem o de matemática em Dorpat em 1819, e, quando Mollweide faleceu em 1825, outro matemático foi preferido para ocupar o cargo vago, que Möbius tanto almejava (se tivesse tido êxito, ele faria uma carreira astronomia-matemática tal qual a do seu falecido mestre!). Foi só em 1844, quando a reputação de Möbius como pesquisador já era muito reconhecida (tanto que ele recebeu um convite para ir lecionar na Universidade de Jena), a Universidade de Liepzig, com medo de perdê-lo, finalmente lhe deu a cadeira de Professor, que ele, é lógico, já merecia a muito tempo.

Desde que Möbius assumira em Leipzig ele também ocupou o posto de Observador no Observatório de Liepzig, visitou quase todos os observatórios da Alemanha, dirigiu a reconstrução do Observatório de Liepzig, casou (1820) e teve dois filhos e uma filha. Em 1848 tornou-se o diretor do Observatório.

Ainda que seus trabalhos mais famosos são de matemática, Möbius publicou trabalhos importantes em Astronomia, como De Computandis Occultationibus Fixarum per Planetas (1815), sobre a ocultação de planetas, Die Hauptsätze der Astronomie (1836), sobre os princípios da Astronomia, e, sobre mecânica celeste, Die Elemente der Mechanik des Himmels (1843). Suas publicações em matemática, nem sempre originais, eram entretanto peças claríssimas e efetivas, como bem resumiu um seu biógrafo, Richard Baltzer:

As inspirações para as suas pesquisas ele encontrava, na maior parte do tempo, no rico posso da sua própria mente. A sua intuição, os problemas que ele mesmo criava, as soluções que encontrou, tudo exibia algo extraordinariamente genial, algo de original, de uma forma rara. Ele trabalhava sem pressa, quieto, na sua. Seu trabalho permanescia praticamente trancado a sete chaves, até que as coisas se encaixassem nos seus lugares devidos. Sem se apressar, sem nenhuma pomposidade ou arrogância, ele esperava até que os frutos da sua mente maturassem. Só depois dessa espera é que ele publicava seus trabalhos simplesmente perfeitos...

Praticamente todos os trabalhos de Möbius foram publicados no jornal de Crelle, o primeiro a publicar exclusivamente notas matemáticas. Seu trabalho de 1827 Der barycentrische Calkul, em geometria analítica, tornou-se um clássico, incluindo aí seus resultados em geometria projectiva, introduzia coordenadas homogêneas, discutia transformações geométricas, e introduzia o que hoje se chama "rede de Moebius", importante chave no desenvolvimento da geometria projectiva. O nome Möbius (moebius para nós) está ligado a muitos objetos matemáticos importantes, tais como a "função de Möbius" e a "fórmula de inversão de Möbius". Em 1837 ele publicou Lehrbuch der Statik, que dá uma visão geométrica à Estatística, e que levou ao desenvolvimento do estudo de sistemas de linhas no espaço (espaços vetoriais).

Lá pelos idos de 1840, Möbius já propunha questõs do tipo:

Havia uma vez um rei com cinco filhos. No seu testamento ele afirmava que queria, após sua morte, que seu reino fosse dividido pelos seus filhos em cinco regiões, de formas a que cada região tivesse uma fronteira em comum com as outras quatro. Os têrmos do testamento podem ser satisfeitos?

A resposta claro que é não, e é (aparentemente) fácil de se demonstrar, mas de fato ilustra o interêsse de Möbius em topologia, a área em que ele é tido como um pioneiro. Num "memoir" apresentado à Académie des Sciences (descoberto depois de sua morte), ele discutiu as propriedades de superfícies de um lado só, incluindo a "fita de Möbius" que ele descobrira em 1858, enquanto ele trabalhava em questões sobre geometria de poliédros, propostas a ele pela Academia de Paris.

A Fita de Moebius é uma superfície bidimensional que tem só um lado. Ela pode ser construida em três dimensões da seguinte maneira: pegue uma tira de papel retangular, vire uma das pontas curtas 180 graus em relação à outra ponta curta, e tchãns una as duas pontas. Agora é possível começar de um ponto A na superfície da fita, e traçar um caminho pela mesma, passando por um ponto que aparentemente está no outro lado do ponto de partida...

Fonte:http://inorgan221.iq.unesp.br/quimgeral/moebius/moebius.html

Fita de Moebius II

Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

Um comentário:

  1. achei muito interesante esta arte ...
    porque eu nunca tinha visto nda parecido

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